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五次以上の一般的な代数方程式には、加減乗除と冪根による解の公式が存在しないという定理。

古代からの数学の難問に終止符を打ち、ガロア理論へと繋がる代数学の転換点となった。

特定の方程式は解けるが、全ての五次方程式に共通する解法は作れないことを証明した。

微分方程式の解が存在するための条件を、連続性よりも緩い条件で保証する定理。

右辺の関数が不連続であっても、ある種の可積分性を満たせば解が存在することを示す。

制御理論や非線形システムなど、現実の複雑な現象をモデル化する際に重宝される。

2つの2階線形常微分方程式の解の振動性を比較するための数学的定理。

一方の方程式の解が零点を持つとき、もう一方の解の挙動を制約する。

微分方程式論において、解の定性的な性質を調べる重要な道具である。

常微分方程式の初期値問題において、解の存在と一意性を保証する定理。

関数がリプシッツ連続であるという条件下で、局所的な解がただ一つ存在することを示す。

微分方程式の理論における最も基本的な基盤の一つとして広く知られている。

積分方程式において、解が存在するか、あるいは同次方程式が非自明な解を持つかの二択を示す。

線形代数における「解があるか、核が存在するか」という関係を無限次元へ拡張したもの。

境界値問題などの物理現象を記述する方程式の可解性を判断する基準となる。

フレドホルム積分方程式の解の性質や構造を記述する、一連の定理の総称。

積分演算子がコンパクト作用素である場合に、有限次元の線形方程式と似た性質を持つ。

量子力学や散乱理論など、物理学の数学的定式化において広く応用されている。