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p進数体上において定義される確率分布や測度であり、数論や理論物理学の分野で用いられる概念。

通常の数直線ではなく、p進付値に基づいた距離空間における確率的な広がりを記述する。

p進量子力学や複雑系のモデル化において、階層的な構造を持つシステムの解析に応用されている。

0から1までの値をとる独立な一様分布に従うn個の確率変数の和が従う分布。

変数の数が増えるにつれて、中心極限定理により正規分布に急速に近づいていく。

乱数生成の検証や、誤差の累積をシミュレーションする際のモデルとして利用される。

カントール集合を支持集合とする、特異連続な確率分布。

累積分布関数は「悪魔の階段」と呼ばれ、至る所微分係数が0でありながら連続で増加する。

確率論における反例や、フラクタル構造を持つ現象のモデルとしてしばしば登場する。

連分数の展開において、各項に現れる数字の出現頻度を記述する確率分布。

任意の数値の連分数展開において、数字がどのような割合で現れるかを数学的に示している。

数論における計量的理論の基礎であり、乱数生成の評価などにも関連する。

確率論において、無限個の独立な事象の末尾で決まる事象の確率は、0か1のいずれかであるという法則。

例えば、無限回のコイン投げで特定のパターンが無限回現れる確率は、必ず0%か100%になる。

アンドレイ・コルモゴロフによって示され、極限定理の基礎となっている。

独立な確率変数の和が収束するための必要十分条件を、3つの級数の収束性で与える定理。

期待値や分散を用いた具体的な判定基準を示し、大数の法則の証明などに用いられる。

確率変数の無限和の挙動を厳密に制御するための強力な道具である。

弱収束する確率変数の列を、ほとんど確実に収束する列に置き換えられるという定理。

確率空間を適切に構成することで、収束の概念を扱いやすくする。

確率論の極限定理を証明する際の強力な道具として利用される。

任意のデータ分布において、平均から一定の標準偏差以上離れた値の割合を制限する定理。

分布の形状に関わらず、少なくとも一定割合のデータが平均の近くにあることを保証する。

統計学において、確率変数のばらつきを評価する際の基礎的な道具である。

ベータ分布を多変量に拡張した連続確率分布で、多項分布の共役事前分布となる。

各成分が正で和が1になるベクトルを生成し、確率の分布を表現するのに適する。

機械学習のトピックモデル（LDA）やベイズ統計学で頻繁に利用される。

交換可能な確率変数の無限列は、独立同分布な変数列の混合として表現できるという定理。

ベイズ統計学において、事前分布の存在を正当化する理論的根拠となっている。

主観的確率の立場から統計的推論を再構築する上で極めて重要な役割を果たす。