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積分方程式と差分方程式の性質を併せ持つ、動的な変化を記述する式。

ある時点の状態が、過去の一定期間の状態の積分によって決定される。

人口動態モデルや感染症の流行シミュレーションなどで利用される。

未知関数の導関数と積分項の両方を含む方程式。

系の現在の変化率が、過去の状態の累積に依存する現象を記述する。

粘弾性体の力学や、個体群動態の遅延効果のモデル化などに用いられる。

未知関数が積分記号の中に含まれている形の方程式。

微分方程式と密接に関連しており、物理現象の境界値問題などで現れる。

フレドホルム型やヴォルテラ型など、積分の範囲によって分類される。

正則関数の値を境界上の積分で表す複素解析の基本定理。

領域内部の関数の挙動が境界の値だけで決定されることを示す。

複素関数の無限回微分可能性を証明する際などに用いられる。

正則関数を閉曲線上で積分すると、その値が常に零になるという複素解析の定理。

単連結領域内での積分の値が経路に依存しないことを保証する。

留数定理の基礎となり、実関数の定積分を計算する際にも広く応用される。

円板上の調和関数の値を境界上の値から決定する複素解析の公式。

コーシーの積分公式から導かれ、実部と虚部の関係を明確にする。

ポテンシャル論や境界値問題の解決において重要な道具となる。

積分記号の中に未知関数を含む方程式で、積分の限界が固定されているもの。

線形作用素の理論において重要であり、境界値問題の解法などに利用される。

物理学では散乱理論やポテンシャル論などの解析において頻繁に登場する。

積分記号の下で微分を行うための、微積分学における公式。

積分の境界や被積分関数が変数に依存する場合の、微分計算の手順を規定する。

物理学や統計学において、期待値の微分や変分原理の計算などに広く応用される。

未知関数が積分の上下限のいずれかに含まれる形式の積分方程式である。

物理現象の履歴効果や、個体群動態などの時間発展を伴うモデルによく現れる。

第一種と第二種に分類され、ラプラス変換などを用いて解くことが一般的である。

変数を二重指数関数的に変換することで、高い精度を実現する数値積分法である。

端点に特異点を持つ関数や、無限区間の積分に対して極めて強力な威力を発揮する。

日本人の高橋秀俊と森正武によって考案され、世界的に高く評価されている手法である。

可積分系と呼ばれる物理モデルの構造を応用した数値計算手法。

離散的なステップでも元のシステムの保存量や幾何学的構造を維持できる特徴がある。

行列の固有値計算やソリトン解のシミュレーションなどに利用される。

微分の逆操作が積分であるという、解析学の根幹をなす定理。

関数の定積分が、その原始関数を用いて計算できることを保証する。

ニュートンとライプニッツによって独立に確立された。

放物線と直線で囲まれた部分の面積を求めるための数学の公式。

積分計算を簡略化でき、高校数学の入試問題などで頻繁に利用される。

2次関数のグラフの性質を利用した、実用的で便利な計算手法である。

極限値を求める際、未知の関数を既知の2つの関数で挟んで値を特定する定理。

左右の関数の極限が一致すれば、挟まれた関数の極限も同じ値になる。

微積分学において、複雑な関数の収束を証明するために不可欠な道具である。

2つの関数の変化率の比が、ある点における微分係数の比に等しいことを示す定理。

ラグランジュの平均値定理を一般化したもので、ロピタルの定理の証明に用いられる。

解析学において関数の挙動を比較する際の強力な道具となる。

定積分を近似計算するための数値積分法の総称である。

積分区間を等間隔に分割し、各点での関数値を用いて多項式近似を行う。

台形公式やシンプソンの公式などは、この公式の具体的な特殊例である。

関数の列の極限の積分と、積分の極限の間の関係を示す不等式。

ルベーグ積分論における基本定理で、収束定理の証明に頻繁に用いられる。

関数の収束性が弱い場合でも、積分の下限を評価できる強力な道具。

多重積分において、積分の順序を入れ替えても計算結果が等しくなることを保証する定理。

関数が可積分であるという条件下で、逐次積分によって多次元の積分を計算できる。

解析学において多変数の計算を行う際の、最も基本的かつ強力な道具の一つ。

積分方程式において、解が存在するか、あるいは同次方程式が非自明な解を持つかの二択を示す。

線形代数における「解があるか、核が存在するか」という関係を無限次元へ拡張したもの。

境界値問題などの物理現象を記述する方程式の可解性を判断する基準となる。

フレドホルム積分方程式の解の性質や構造を記述する、一連の定理の総称。

積分演算子がコンパクト作用素である場合に、有限次元の線形方程式と似た性質を持つ。

量子力学や散乱理論など、物理学の数学的定式化において広く応用されている。

円板上の調和関数の値を、境界上の値から積分によって求めるための公式。

ラプラス方程式のディリクレ問題を円板領域で解く際の具体的な表現を与える。

複素解析やポテンシャル論において、関数の復元や評価に用いられる。

行列式の微分を、行列の余因子行列やトレースを用いて表す公式。

行列値関数の行列式がどのように変化するかを計算する際に用いられる。

微分幾何学や連続体力学において、体積変化率を求める際などに活用される。

関数の極限において、不定形の値を微分を用いて求めるための計算規則である。

分子と分母をそれぞれ微分した後の極限値が、元の極限値と一致することを利用する。

0/0や無限大/無限大の形になる極限を簡便に解く手法として広く知られる。

関数が2点で同じ値をとる時、その間で微分係数が0になる点が少なくとも1つある。

微分可能な関数において、極値の存在を保証する解析学の基本的な性質である。

平均値の定理を証明するための特殊なケースとして、数学教育で必ず扱われる。

2つの関数の積の高階導関数を求めるための、微分計算の公式である。

二項定理に似た形式を持ち、各項が微分の階数に応じた二項係数で構成される。

物理学や解析学において、複雑な関数の変化率を計算する際に多用される。

連続関数がある区間の両端で異なる値をとるとき、その間の値を必ずとること。

グラフが途切れていなければ、目標の値を横切る瞬間があることを示す。

方程式が特定の範囲に解を持つことを証明する際に非常に便利。

ルベーグ積分において、関数の極限と積分の順序を入れ替えられる条件を示す定理。

各項が共通の可積分関数で抑えられている場合に成立し、解析学で頻繁に利用される。

積分記号下での微分や、級数の和と積分の交換を正当化する強力な道具である。

二つの関数の比の形をした関数を微分するための公式。

分母の二乗を分母とし、分子の微分×分母から分子×分母の微分を引いた式を分子とする。

微積分学において、複雑な関数の導関数を求めるために多用される。

関数の値の変化を、その導関数を用いて近似または表現する定理。

微分積分学における平均値の定理の別名、あるいは多変数関数における全微分の関係を指す。

誤差の評価や、関数の局所的な挙動を解析する際に不可欠な道具である。

二つの関数の積を微分する際、それぞれの微分を組み合わせる計算規則。

一方の微分にもう一方を掛けたものと、その逆を足し合わせる公式である。

微積分学における最も基本的な公式の一つであり、ライプニッツの法則とも呼ばれる。