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関数解析学において、弱コンパクト凸集合上のアフィン等長写像の族に関する不動点定理。

適切な条件下で、全ての写像に対して共通の不動点が存在することを保証する。

エルゴード理論や抽象調和解析における不変測度の存在証明などに重要な役割を果たす。

ヒルベルト空間上の強連続な1パラメータ単位元群と自己共役作用素を対応させる定理。

量子力学における時間発展演算子とハミルトニアンの関係を数学的に正当化する。

ユニタリ表現論や関数解析学における基礎的な成果の一つである。

線形作用素を固有値に対応する射影作用素の和や積分として分解できるという定理。

行列の対角化を無限次元のヒルベルト空間上の作用素へ一般化したものである。

量子力学における観測可能量の記述や、関数解析学の根幹をなす理論である。

2つの閉凸集合の和集合がいつ閉集合になるかという、関数解析学の条件を与える定理。

一方がコンパクトであれば和は閉となるが、一般には成立しない場合の判定基準を示す。

最適化問題や凸解析において、解の存在を保証するための重要な道具。

ヒルベルト空間上の縮小写像が、より大きな空間上のユニタリ演算子の一部として表せる定理。

非自己共役な演算子の性質を、ユニタリ演算子の理論を用いて解析することを可能にする。

演算子論や制御理論において、システムの安定性を論じるための基礎となる。

関数空間 L^p において、集合がコンパクトであるための必要十分条件を与える定理。

関数の平行移動に対する連続性が一様であることを条件とし、近似の可能性を保証する。

偏微分方程式の解の存在証明や、関数解析学の理論構築において重要な役割を果たす。

リース空間（線形束）において、特定の要素が射影の積分として表現できるという定理。

線形代数における行列の固有値分解を、より抽象的な空間へと一般化したもの。

関数解析学において、作用素の構造を解析するための基礎的な枠組みを提供する。