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特定のヤコビ多項式の和が非負であることを示す数学的不等式。

リチャード・アスキーとジョージ・ギャスパーによって証明された。

ド・ブランジュによるビーベルバッハ予想の証明において決定的な役割を果たした。

凸関数のグラフが、その上の二点を結ぶ線分より下側にあることを示す式。

期待値や平均に関する数学的性質を記述し、確率論で極めて重要である。

算術平均と幾何平均の関係や、情報理論の証明などに広く用いられる。

三角形内の点から各辺への距離と、各頂点への距離に関する不等式。

頂点への距離の和は、辺への距離の和の2倍以上になることを示す。

ポール・エルデシュが予想し、モーデルらが証明した幾何学の定理である。

三角形の辺の長さと面積の間に成り立つ幾何学的な不等式。

特定の条件下で、辺の積と面積の関係を制限する性質を持つ。

日本の数学者、小野忠によって提唱され、三角形の性質を探求する問題である。

二つの確率分布の間の交差エントロピーが、元のエントロピー以上になることを示す式。

情報理論において、情報の符号化効率や損失を評価する基礎となる。

熱力学におけるエントロピー増大の法則とも密接に関連している。

熱力学の第二法則を連続体力学に適用した、エントロピー産生に関する不等式。

物質の変形や熱伝導が不可逆的であることを数学的に表現する。

材料の構成式が物理的に妥当であるかを判定するための制約条件となる。

接頭符号が存在するための必要十分条件を、符号語の長さの和で表したもの。

情報理論において、効率的なデータ圧縮が可能かどうかを判断する基準となる。

ハフマン符号などの最適な符号化手法の理論的基礎を支えている。

微分方程式の解の評価に用いられる基本的な不等式。

未知関数の増大度を既知の関数の積分によって抑え込む。

解の一意性や連続依存性の証明において決定的な役割を果たす。

ベクトルの内積とノルムの間に成り立つ基本的な不等式。

内積の絶対値は各ベクトルの長さの積以下であることを示す。

解析学や線形代数、確率論など数学の全域で頻繁に使用される。

弾性力学において変位勾配を歪みテンソルで評価する不等式。

物体の変形エネルギーが適切に定義されるための数学的基礎を与える。

偏微分方程式の解の存在や安定性の議論において重要である。

楕円型偏微分方程式の解に関する基本評価式。

微分作用素が強楕円性を持つ場合に、ノルムの間の関係を規定する。

解の存在証明や正則性の解析において中心的な役割を果たす。

特定の循環的な和の形を持つ分数式の最小値を問う不等式。

変数の数によって不等式が成立するかどうかが変わるという特徴を持つ。

数学オリンピックなどの問題としても親しまれる興味深い性質を持つ。

非負の実数に対して成り立つ、対称な多項式の形をした不等式。

3変数以上の特定の形式において、常に非負であることを主張する。

数学検定やコンテストの証明問題などでしばしば応用される。

関数の導関数のノルムを用いて、関数自身のノルムを評価する不等式。

関数の滑らかさが、その値の大きさをどのように制限するかを規定する。

偏微分方程式の解の存在や正則性を議論する上で不可欠な道具である。

データの散らばりと平均からの乖離の確率を制限する統計学の不等式。

分布の形状に関わらず、標準偏差のk倍以上離れる確率は 1/k^2 以下であることを示す。

大数の法則の証明など、理論統計学の基礎を支える重要な式である。

2つの同方向に並んだ数列の積の平均に関する不等式。

数列が共に単調増加なら、積の平均は平均の積以上になることを示す。

解析学における基本的な不等式の一つであり、様々な評価に用いられる。

ヒルベルト空間上の縮小写像に対し、多項式のノルムを評価する作用素論の不等式。

多項式の値のノルムが、単位円板上での最大値によって抑えられることを示す。

関数解析学における作用素計算の理論において中心的な役割を果たす。

ソボレフ空間において、関数のL2ノルムをその勾配のL2ノルムで抑える不等式。

境界で値がゼロとなる関数に対し、領域の大きさに依存する定数が現れる。

偏微分方程式の解の存在証明や、数値解析における誤差評価に不可欠である。

複数の事象のいずれかが起こる確率は、各事象の確率の和以下であるという性質。

事象が互いに排他的でない場合でも成立する、確率論の基本的な不等式である。

複雑な事象の確率の上限を簡単に見積もるために、数学の諸分野で多用される。

数列や関数の積の積分を、それぞれのLpノルムの積で評価する数学的不等式。

コーシー・シュワルツの不等式を、一般的な指数pとqに拡張したものである。

関数解析学や確率論において、ノルムの評価を行う際の最も基本的な道具の一つ。

ヒルベルト空間の元を直交系で展開した際、係数の2乗和が元のノルムを超えない性質。

フーリエ級数において、有限項の近似が元の関数より大きなエネルギーを持たないことを示す。

等号が成立する場合はパーセバルの等式と呼ばれ、完全性の判定基準となる。

局所実在論が正しい場合に、物理量の相関が満たすべき数学的な限界を示す式。

量子力学の予測はこの不等式を破り、非局所的な相関が存在することを証明した。

量子もつれの検証や、量子情報科学の基礎理論として極めて重要である。

1に微小な値を足したもののn乗が、1にその値のn倍を足したもの以上になる性質。

解析学において、指数の挙動を線形式で下から抑えるために頻繁に利用される。

数学的帰納法の典型的な練習問題としても知られる、非常に基本的な不等式。

複素代数曲面のチャーン数の間に成り立つ、幾何学的な制約を示す不等式。

曲面のトポロジーと複素構造の間の深い関係を記述している。

代数曲面の分類理論において、非常に重要な役割を果たす定理である。

平面上の閉曲線において、面積、周長、および内接円・外接円の半径の関係を示す式。

有名な等周不等式をより精密にし、形状が円からどれだけ離れているかを評価する。

凸幾何学や幾何学的確率論において、領域の性質を深く理解するための道具。

関数の平均からのずれを、その勾配のノルムによって上から抑える解析学の不等式。

ソボレフ空間における関数の振る舞いを制御するために不可欠な道具である。

偏微分方程式の解の安定性解析や、変分問題の理論構築において多用される。

正の実数集合に対し、基本対称式の平均値の間に成り立つ大小関係を示す不等式。

相加相乗平均の不等式を一般化したものであり、次数の異なる平均を比較する。

多項式の根の性質や、凸関数の評価など数学の様々な場面で利用される。

非負の確率変数が特定の値以上になる確率の上限を示す不等式。

期待値のみを用いて確率の裾を評価できる汎用的な性質を持つ。

チェビシェフの不等式などのより強い不等式を導出する基礎となる。

ノルム空間における三角不等式を一般化した不等式。

Lp空間において、関数の和のノルムが各ノルムの和以下であることを示す。

解析学や確率論において、空間の完備性を証明する際などに多用される。

2つの非負の実数の積を、べき乗の和で抑える不等式。

ヘルダーの不等式を証明するための基礎となる重要な性質を持つ。

指数が共役な関係にある場合に成立し、凸関数の性質を利用して導かれる。

2つの関数の畳み込みのノルムを、各関数のノルムの積で抑える不等式。

Lp空間における解析において、関数の滑らかさや減衰を評価するのに用いる。

調和解析や偏微分方程式の解の推定において、基本的な道具となる。

与えられた面積を持つ領域の中で、ラプラス演算子の第一固有値を最小にするのは円であるとする不等式。

太鼓の膜の面積を固定したとき、最も低い音が出る形状は円形であることを意味する。

幾何学的スペクトル理論における基本的な不等式の一つである。

閉曲線の長さが一定のとき、その囲む面積が最大になるのは円であるという定理。

高次元への拡張もなされており、等周不等式として数学的に定式化される。

自然界の形状決定プロセスや、最適化問題の基礎理論として知られている。