今北産業pedia

関数族が等程度連続かつ一様有界であるとき、収束する部分列を持つという定理。

関数空間におけるコンパクト性を判定するための重要な指標となる。

微分方程式の解の存在証明や解析学の様々な分野で広く利用される。

楕円型複体上の写像の不動点における局所的な寄与から、大域的な指数を計算する定理。

レフシェッツの不動点定理を一般化したものであり、高度な幾何学に適用される。

理論物理学の超対称性理論など、幅広い分野に応用されている。

任意の結び目や絡み目は、ある編み目（ブライド）を閉じることで得られるという定理。

結び目理論を編み目理論の枠組みで解析することを可能にした重要な成果である。

結び目の不変量を計算する際や、3次元多様体の研究において基礎となる。

曲面の幾何学的な曲率と、その位相的な性質（オイラー標数）を結びつける定理。

局所的な曲がり具合を積分すると、図形の穴の数という全体的な特徴が決定される。

微分幾何学における最も美しい定理の一つとされ、現代物理学の理論構築にも寄与している。

平面上の自己交差を持たない閉曲線は、平面を内部と外部に分けるという定理。

直感的には当然に見えるが、数学的に厳密な証明は非常に困難とされる。

位相幾何学における基礎的な定理の一つとして知られている。

任意の個数のコンパクト空間の直積空間は、再びコンパクトであるという位相幾何学の定理。

無限個の積を扱う際にも成立し、選択公理と等価であることが知られている。

解析学や関数空間の性質を調べる上で、最も基本的かつ重要な定理の一つである。

4次元滑らかな多様体の交差形式に関する制約を述べた、幾何学的トポロジーの定理。

ヤン＝ミルズ理論という物理学の手法を数学に応用し、4次元の特異性を明らかにした。

この成果によりドナルドソンはフィールズ賞を受賞し、現代幾何学を一変させた。

コンパクトな図形上の連続写像が持つ不動点の個数の下限を、位相幾何学的に与える定理。

ブラウワーの不動点定理を拡張し、写像のホモトピー型から不動点の存在を論じる。

ニールセン数という指標を用い、力学系の周期軌道の解析などに活用される。

代数的位相幾何学において、ホモトピー群とホモロジー群の間の関係を述べる定理。

空間が連結で低次のホモトピー群が消えているとき、最初の非自明な群が一致することを示す。

空間の「穴」の性質を異なる手法で計算し、比較するための強力な道具となる。

閉球から自分自身への連続関数には、必ず値が変化しない点（不動点）が存在するという定理。

どれほどかき混ぜても、元の位置から動かない点が少なくとも一つあることを意味する。

経済学の均衡存在証明や、トポロジーの基礎理論として極めて重要。