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半単純環の構造を、体上の行列環の直積として完全に分類する代数学の定理。

環論において、複雑な代数的構造をより単純な要素に分解して理解を助ける。

表現論や数論などの広範な数学領域において、基礎的な道具として用いられる。

五次以上の一般的な代数方程式には、加減乗除と冪根による解の公式が存在しないという定理。

古代からの数学の難問に終止符を打ち、ガロア理論へと繋がる代数学の転換点となった。

特定の方程式は解けるが、全ての五次方程式に共通する解法は作れないことを証明した。

単純環の構造を、体上の行列環として決定する代数学の重要な定理。

アルティン・ウェダーバーンの定理の基礎となり、非可換環論の発展に大きく寄与した。

抽象的な代数系を、具体的な行列という形で表現することを可能にする。

全ての有限な除法代数（斜体）は、必ず可換体であるという代数学の定理。

有限個の要素しか持たない世界では、乗法の交換法則が自動的に成立することを証明した。

射影幾何学において、パップスの定理とデザルグの定理の関係を説明する際にも現れる。

リー環の理論において、べき零リー環の性質を規定する重要な定理。

すべての元が随伴表現においてべき零であれば、そのリー環自体がべき零となる。

リー代数の構造解析や分類において基礎的な役割を果たす。

有理数体上の絶対値が、通常の絶対値かp進絶対値のいずれかと同値であるという定理。

数論において、有理数の「近さ」を測る尺度が限定的であることを示している。

代数的数論における局所体の理論を構築する上での出発点となる重要な定理。

数学者エリー・カルタンによって導かれた、リー群や微分形式に関する一連の定理の総称。

特にリー環の可解性や半単純性を判定する基準（カルタンの判定条件）が有名である。

現代の微分幾何学や理論物理学の基礎を築いた、極めて重要な数学的成果である。

幾何学的代数において、直交変換がいくつかの鏡映（反射）の合成で表せることを示す定理。

n次元空間の直交変換は、高々n個の鏡映によって構成できることを保証している。

群論や結晶学、コンピュータグラフィックスにおける回転の理解において基礎となる。

箙（えびら）の表現論において、有限個の既約表現を持つための条件をグラフの形で示した定理。

対応するグラフがADE型のディンキン図形である場合に限り、表現が有限型となることを証明した。

代数学の異なる分野を繋ぐ美しい結果として、現代数学において高く評価されている。

代数方程式の解の対称性と、体の拡大の構造を群論を用いて結びつける定理。

方程式が代数的に解けるかどうかを、対応するガロア群の性質によって判定できる。

5次以上の方程式に一般的な解の公式が存在しないことを証明する際の核心となった。

可換環論において、単項イデアルから生成される素イデアルの高さは1以下であるという定理。

ネーター環における次元論の基礎となる重要な結果である。

ヴォルフガング・クルルによって証明され、多項式環の次元の理解に貢献した。

零環でない任意の可換環には、少なくとも一つの極大イデアルが存在するという定理。

証明には選択公理（ツォルンの補題）が必要であり、環論の基本定理の一つ。

これにより、任意の環を体へと写す準同型写像の存在が保証される。

ある種の加群や群が、直既約な成分の直和として一意に分解できるという定理。

分解の順序を除いて、各成分の同型類とその個数が一意に定まることを保証する。

代数学における構造の分解可能性を論じる上での基礎的な道具である。

任意の群は、ある集合上の置換群と同型であるという群論の定理。

抽象的な群の構造が、具体的な置換の集まりとして表現できることを保証する。

アーサー・ケイリーによって示され、群論の初期の発展において重要な役割を果たした。

正方行列は、それ自身の特性多項式を零行列にするという線形代数の定理。

行列の累乗を低次の和で表すことを可能にし、行列の計算を大幅に簡略化する。

線形代数学において最も有名かつ実用的な定理の一つである。

行列の固有値が、複素平面上の特定の円盤（ゲルシュゴリン円）の和集合内に存在するという定理。

行列の成分から直接、固有値のおおよその範囲を推定できる非常に実用的な手法。

数値解析において、固有値計算の収束性や安定性の評価に用いられる。

実係数多項式が指定された区間内に持つ実根の個数を求めるための定理。

多項式とその導関数から生成される「スツルム列」の符号変化を利用する。

代数方程式の解の存在範囲を特定する計算機代数の基礎手法である。

有限生成の射影加群が、あるコンパクト空間上のベクトル束の切断の空間と対応する定理。

代数的な概念と幾何学的な構造を結びつける、K理論の基礎となる成果である。

非可換幾何学などの現代数学において重要な役割を果たしている。

代数体の拡大において、特定のフロベニウス写像を持つ素イデアルの割合を示す定理。

算術級数における素数定理を一般化したもので、数論における極めて強力な道具である。

素数の分布やガロア群の構造を解明するために広く用いられる。

多項式の実根の個数を、係数の符号の変化回数から推定する代数学の手法。

正の実根の最大数は符号変化の回数に等しく、負の実根は変数を置換して判定する。

方程式の解の存在範囲を素早く把握するために、古くから用いられてきた。

位数が奇数の有限群は、必ず可解群であるという群論の重要な定理。

250ページを超える膨大な証明を要し、有限単純群の分類への道を開いた。

「奇数位数の群に単純群は存在しない（巡回群を除く）」という予想を解決した。

17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが提唱した、数論に関する諸定理の総称。

主に「小定理」や「最終定理」を指すが、他にも4平方和の定理など多岐にわたる。

数学史上最も有名かつ難解な予想を含み、数世紀にわたり数学者を魅了し続けた。

微分幾何学において、接分布が積分可能（葉層構造を持つ）ための必要十分条件を示す。

また代数学では、実数体上の有限次元結合的分配代数が3種類に限られることも指す。

数学の複数の分野に同名の定理が存在し、それぞれが各分野の根幹をなす重要な成果。

実係数多項式の特定の区間内にある実根の個数の上限を、符号変化の数から求める定理。

多項式とその導関数の値の列を調べ、根の存在範囲を絞り込むことができる。

デカルトの符号法則を一般化したものであり、数値解析や代数方程式の研究に用いられる。

有限単純群の位数が、ある対合（位数2の要素）の中心化群の位数によって制限される定理。

有限単純群の分類プロジェクトにおいて、初期の重要な突破口となった成果。

1955年にリチャード・ブラウアーとポール・ファウラーによって証明された。