今北産業pedia

正の整数係数を持つ二次形式がどの整数を表すかに関する、数論の定理である。

15定理は全整数、290定理は全正整数を表すための判定条件を特定の有限集合で示す。

ジョン・コンウェイらによって証明され、二次形式の普遍性を判定する強力な道具となる。

整数論において、ある数が別の素数を法として3乗剰余であるかを示す法則である。

アイゼンシュタイン整数環を用いることで、平方剰余の相互法則を拡張する形で記述される。

高次剰余の相互法則の先駆けであり、現代の代数的数論の基礎の一部となっている。

p進数体上において定義される確率分布や測度であり、数論や理論物理学の分野で用いられる概念。

通常の数直線ではなく、p進付値に基づいた距離空間における確率的な広がりを記述する。

p進量子力学や複雑系のモデル化において、階層的な構造を持つシステムの解析に応用されている。

ゼータ関数の3における値（アペリーの定数）が無理数であることを示す定理。

1978年にロジェ・アペリーによって、非常に独創的な手法で証明された。

他の奇数におけるゼータ値が無理数かどうかは、現在も多くが未解決である。

代数体論における中心的な定理で、局所体や全域体のガロア群の構造を記述する。

類体論の主定理であり、イデアル類群とガロア群の間の同型対応を確立した。

二次相互法則などの古典的な数論の結果を、高度に一般化したものである。

自然数 p が素数であるための必要十分条件を、階乗を用いた合同式で表す定理。

(p-1)! ≡ -1 (mod p) が成り立つとき、かつその時に限り p は素数である。

理論的には強力だが、階乗の計算量が膨大になるため素数判定の実用には向かない。

ラプラス変換の解析接続を利用して、関数の漸近的な挙動を決定する数論の定理。

ウィーナーのタウバー型定理を一般化したもので、素数定理の簡潔な証明を可能にした。

ディリクレ級数の収束性と、対応する数論的関数の平均値の関係を記述する。

分割数の母関数と無限積の間に成り立つ、数論における驚異的な等式。

五角数を用いて級数の係数が決定されるという幾何学的な結びつきを持つ。

組合せ論や分配関数の計算において、計算量を劇的に減らす手法として使われる。

数論において、正の整数と互いに素な整数の間に成り立つ合同式の関係。

フェルマーの小定理を一般化したもので、オイラーのφ関数を用いて記述される。

公開鍵暗号方式であるRSA暗号の理論的基盤として不可欠な役割を担う。

有理数体上の絶対値が、通常の絶対値かp進絶対値のいずれかと同値であるという定理。

数論において、有理数の「近さ」を測る尺度が限定的であることを示している。

代数的数論における局所体の理論を構築する上での出発点となる重要な定理。

連分数の展開において、各項に現れる数字の出現頻度を記述する確率分布。

任意の数値の連分数展開において、数字がどのような割合で現れるかを数学的に示している。

数論における計量的理論の基礎であり、乱数生成の評価などにも関連する。

数論において、実数の整数倍を法1で考えた時の値が、範囲内で稠密に分布するという定理。

ディオファントス近似の一種であり、無理数の性質を深く記述する。

レオポルト・クロネッカーによって19世紀後半に示された。

有理数体上の任意の有限次アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理。

代数的数論の金字塔であり、類体論の先駆けとなった重要な成果。

クロネッカーが着想し、ウェーバーとヒルベルトによって完全に証明された。

二項係数が素数pで何回割り切れるかは、p進法での加算の繰り上がり回数に等しいという定理。

数論における組み合わせ的性質とp進的な性質を結びつける興味深い結果。

エルンスト・クンマーによって1852年に発表された。

素数の集合の中には、任意の長さの等差数列が無限に存在するという数論の定理。

ベン・グリーンとテレンス・タオによって2004年に証明された画期的な成果。

素数の分布に潜む構造を明らかにし、組合せ論的数論の発展に大きく寄与した。

整数nの分割において、dで割り切れない数への分割数は、各数がd回未満現れる分割数に等しい。

オイラーの分割定理（奇数への分割と異なる数への分割）を一般化したもの。

組合せ論や数論におけるパーティション理論の重要な定理の一つ。

代数的数a（0,1以外）と代数的無理数bに対し、aのb乗は超越数であるという定理。

ヒルベルトの第7問題を肯定的に解決し、超越数論の大きな進展をもたらした。

例えば、2の√2乗が超越数であることをこの定理によって証明できる。

算術級数における素数の分布に関する解析的整数論の定理。

特定の条件下で素数分布の誤差項を評価する際に重要な役割を果たす。

リーマン予想が未解決であるため、数論の証明において頻繁に引用される。

楕円曲線の点の個数を効率的に計算するための数学的アルゴリズム。

スクーフのアルゴリズムを改良し、巨大な素数体上でも高速に動作する。

楕円曲線暗号の安全性評価や鍵生成の実装において不可欠な技術である。

任意の正の整数は、隣り合わないフィボナッチ数の和として一意に表せるという定理。

フィボナッチ数を用いた特殊な進数表現（フィボナッチ進数）の根拠となる。

数論における興味深い性質として知られ、パズルや符号化理論に応用される。

代数体の拡大において、特定のフロベニウス写像を持つ素イデアルの割合を示す定理。

算術級数における素数定理を一般化したもので、数論における極めて強力な道具である。

素数の分布やガロア群の構造を解明するために広く用いられる。

任意の無理数を、分母がある値以下の有理数でどの程度精度よく近似できるかを示す定理。

鳩の巣原理を用いて証明され、無理数の近似の限界を規定する数論の基礎。

連分数展開の理論や、超越数論の発展において重要な役割を果たした。

代数体の整数環における単数群の構造を、有限生成アーベル群として記述する定理。

単数群の階数が、代数体の実埋め込みと複素埋め込みの数によって決まることを示す。

代数的数論において、体の性質を理解するための極めて重要な道具である。

初項と公差が互いに素である等差数列の中に、素数が無限に存在することを示す定理。

解析的数論の先駆けとなり、L関数を用いた証明手法が確立された。

素数の分布に関する理解を深める、数論における金字塔的な成果である。

代数的数に対する有理数近似の精度に限界があることを示した、数論の重要な定理。

任意の代数的無理数に対し、近似の次数は2より大きくできないことを証明した。

この功績によりロスはフィールズ賞を受賞し、ディオファントス近似論を完成させた。

最初のn個の整数の三乗の和が、最初のn個の整数の和の二乗に等しいという定理。

具体的には 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 が成り立つ。

古代ギリシャの数学者ニコマコスにちなんで名付けられた数論の性質。

代数体の絶対ガロア群の構造が分かれば、元の代数体そのものが決定されるという定理。

遠アーベル幾何学の先駆けとなった、数論における驚異的な復元定理である。

ノイキルヒと内田興二によって独立に証明され、ガロア理論の深さを示した。

複素解析において、真性特異点の近傍での関数の振る舞いを示す定理。

小定理は定数でない整関数が、高々1点を除いて全ての複素数値を取るというもの。

大定理は真性特異点の任意の近傍で、関数が高々1点を除き無限回値を取ることを示す。

代数体上の有理点を持つ代数曲線のうち、種数が2以上のものは有限個しか点を持たない。

1983年にゲルハルト・ファルティングスによって証明され、フィールズ賞の対象となった。

モーデル予想として知られていた難問を解決し、数論幾何学に多大な貢献をした。

自然数を有限個の色で塗り分けたとき、同色の等差数列が必ず含まれるという定理。

任意の長さの等差数列が、どれか一つの色の中に存在することを保証する。

ラムゼー理論の初期の重要な成果であり、組合せ論における基本的な性質を示す。

17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが提唱した、数論に関する諸定理の総称。

主に「小定理」や「最終定理」を指すが、他にも4平方和の定理など多岐にわたる。

数学史上最も有名かつ難解な予想を含み、数世紀にわたり数学者を魅了し続けた。

素数 p と、p で割り切れない整数 a に対して、aの(p-1)乗を p で割ると余りが1になる性質。

合同式の形式で「a^p ≡ a (mod p)」とも記述され、数論の最も基本的な定理の一つ。

RSA暗号などの現代の公開鍵暗号方式において、計算の基盤として利用されている。

3以上の自然数 n について、x^n + y^n = z^n を満たす自然数の組は存在しないという命題。

フェルマーが本の余白に書き残してから360年後、アンドリュー・ワイルズにより証明された。

数学界最大の難問として知られ、その証明には現代数学の粋が尽くされた。

ベルヌーイ数の分母の構造を、素数を用いて具体的に決定する数論の定理。

ベルヌーイ数 B_2n の分母は、(p-1)が 2n を割り切るような全ての素数 p の積になる。

数論における級数展開やゼータ関数の値を研究する上で基礎的な知見を与える。

双子素数の逆数の和が、無限に続くとしても一定の値（ブルン定数）に収束するという定理。

素数全体の逆数の和が発散するのに対し、双子素数は「稀」であることを示唆する。

1919年にヴィゴ・ブルンによって証明され、篩法（ふるいほう）の発展に寄与した。