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物体の大きさが変化した際、表面積は2乗に、体積は3乗に比例して増減する物理的性質。

生物の巨大化に伴う体重支持の限界や、熱放散の効率変化を説明する際に用いられる。

航空機の設計やナノテクノロジーなど、工学分野のスケールメリット評価にも重要である。

複素数体上の多項式写像が単射であれば、それは全射でもあるという代数幾何学の定理。

有限集合の写像に関する性質が、特定の代数多様体でも成立することを示した。

モデル理論の手法を用いて証明された、数学の異なる分野を繋ぐ例として有名である。

微分作用素の解析的指数と、多様体の幾何学的指数が一致するという定理。

解析学、幾何学、理論物理学を結びつける現代数学の金字塔の一つである。

1963年にマイケル・アティヤとアイザドール・シンガーによって証明された。

楕円型複体上の写像の不動点における局所的な寄与から、大域的な指数を計算する定理。

レフシェッツの不動点定理を一般化したものであり、高度な幾何学に適用される。

理論物理学の超対称性理論など、幅広い分野に応用されている。

三角形の各辺の長さと中線の長さの間に成り立つ関係を示した幾何学の定理。

「中線定理」とも呼ばれ、ベクトルの計算や図形問題の解決に広く応用される。

古代ギリシャの数学者アポロニウスにちなんで名付けられた。

多角形の内部を監視するために必要な最低限の守衛の数を求める幾何学の定理。

n個の頂点を持つ単純多角形は、床関数(n/3)個の守衛で全域を監視できる。

監視カメラの配置最適化や、ロボットの経路計画などの問題に応用される。

球面鏡において、特定の2点を通る光が反射する鏡面上の点を求める幾何学の問題。

4次方程式に帰着される難問であり、11世紀の物理学者アルハゼンが解法を試みた。

光学における反射の解析だけでなく、ビリヤードの軌道計算などにも関連する。

凸多面体の表面の計量が与えられれば、その多面体が一意に定まるという幾何学の定理。

展開図から元の立体が一意に復元できる条件を示しており、凸幾何学の金字塔とされる。

剛性問題や曲面の曲率の研究など、現代幾何学の多くの分野に影響を与えている。

四角形の内部の点と各辺を結んでできる三角形の面積に関する幾何学の定理。

対辺を底辺とする三角形の面積の和が等しくなる点の軌跡は、中線である。

ニュートンの定理の一般化であり、平面幾何学における面積の性質を記述する。

2つの直線上の点同士を結ぶ線分の中点が、再び一直線上に並ぶという幾何学の定理。

非ユークリッド幾何学においても成立する、射影幾何学的な性質を持つ。

図形の対称性や変換の性質を研究する上で、直感に反する興味深い結果を与える。

四角形の各辺の長さと対角線の長さの間に成り立つ幾何学の定理。

各辺の2乗の和が、対角線の2乗の和と対角線の中点間の距離の2乗の4倍に等しい。

平行四辺形の性質を一般的な四角形に拡張した幾何学的な公式である。

凸幾何学において、d次元空間の凸包内の点は、高々d+1個の頂点の凸結合で表せるという定理。

複雑な図形を単純な単体の集まりとして理解するための基礎的な道具となる。

最適化問題や計算幾何学において、解の構成やアルゴリズムの解析に利用される。

数学者エリー・カルタンによって導かれた、リー群や微分形式に関する一連の定理の総称。

特にリー環の可解性や半単純性を判定する基準（カルタンの判定条件）が有名である。

現代の微分幾何学や理論物理学の基礎を築いた、極めて重要な数学的成果である。

幾何学的代数において、直交変換がいくつかの鏡映（反射）の合成で表せることを示す定理。

n次元空間の直交変換は、高々n個の鏡映によって構成できることを保証している。

群論や結晶学、コンピュータグラフィックスにおける回転の理解において基礎となる。

2つの立体を平行な平面で切ったとき、その切り口の面積が常に等しければ体積も等しいという原理。

積分法の概念が確立される前に、面積や体積を求めるための強力な手法として提唱された。

球の体積公式の導出など、幾何学的な計算において直感的で分かりやすい根拠を与える。

曲面の幾何学的な曲率と、その位相的な性質（オイラー標数）を結びつける定理。

局所的な曲がり具合を積分すると、図形の穴の数という全体的な特徴が決定される。

微分幾何学における最も美しい定理の一つとされ、現代物理学の理論構築にも寄与している。

幾何学において、円の連鎖から次々と新しい共通点が生じることを示す定理。

n個の円が一点で交わる時、それらから構成される図形が特定の性質を持つ。

ウィリアム・キングドン・クリフォードによって示された円の配置に関する性質。

トレミーの定理を一般化したもので、4つの円が1つの大きな円に接する時の関係を示す定理。

各円の共通接線の長さの間に、特定の代数的な等式が成立することを述べている。

幾何学における円の配置に関する美しく高度な定理として知られる。

2つの3次曲線が9点で交わる時、そのうち8点を通る別の3次曲線は必ず9点目も通るという定理。

代数幾何学における曲線の交わりに関する深い性質を記述している。

パスカルの定理などの射影幾何学の古典的な結果を一般化したものと言える。

三角形の各頂点と外心を結ぶ線分に関する、特定の3直線が一点で交わるという幾何学の定理。

その交点は「コスニタ点」と呼ばれ、三角形の五心以外の重要な中心点の一つである。

ルーマニアの数学者チェザル・コスニタにちなんで名付けられた。

四面体の4つの頂点と対面の重心を結ぶ直線（中線）は、一点で交わるという幾何学の定理。

その交点は四面体の重心であり、各中線を3対1の比に内分する。

三角形の中線の性質を三次元に拡張したもので、フェデリコ・コマンディーノが証明した。

三角形の頂点から対辺に引いた線分と、各辺の長さの関係を示す幾何学の定理。

中線定理を一般化したものであり、線分の長さを計算する際に用いられる。

18世紀の数学者マシュー・スチュワートによって発表された。

有限生成の射影加群が、あるコンパクト空間上のベクトル束の切断の空間と対応する定理。

代数的な概念と幾何学的な構造を結びつける、K理論の基礎となる成果である。

非可換幾何学などの現代数学において重要な役割を果たしている。

円の直径を斜辺とする、円周上の点からなる三角形は常に直角三角形であるという定理。

古代ギリシャの数学者タレスにちなみ、幾何学の最も古い定理の一つとされる。

図形の性質を証明する際の基礎として、初等教育から広く用いられている。

六角形の各辺の外側に描かれた特定の円が、共通の円に接するという幾何学の定理。

ベトナムの数学者ダオ・タイン・オによって2014年に発見された比較的新しい定理である。

コンピュータを用いた幾何学の探求から生まれた興味深い成果として知られる。

三角形の各頂点から対辺に引いた3本の線分が1点で交わるための条件を示す定理。

各辺を分割する線分の比の積が1になるという、幾何学の基本的な性質である。

メネラウスの定理と並び、図形の問題を比の計算で解く際に多用される。

フランスの数学者ビクトル・テボーが提唱した、平面幾何学に関する3つの問題。

特に三角形の辺上の正方形や、内接円・外接円に関連する性質を述べている。

長年未解決であった難問も含まれており、幾何学ファンに知られる。

三角形の九点円が、内接円および3つの傍接円と接するという幾何学の定理。

フォイエルバッハの定理の別名、あるいは関連する性質として言及される。

三角形の五心や円の配置に関する美しい調和を示す性質の一つである。

互いに接する4つの円の半径の間に成り立つ、代数的な関係を記述した定理。

各円の曲率（半径の逆数）の和の二乗と、曲率の二乗の和の間に一定の関係がある。

アポロニウスの円の問題に関連し、フラクタル図形の構成などにも応用される。

多面体の頂点における欠損角の総和が、常に720度（4πラジアン）になるという定理。

オイラーの多面体定理の幾何学的側面を表しており、曲率の概念の先駆けとなった。

多面体の形状に関わらず、位相的な性質によって値が決定される点が特徴。

2つの三角形が点対称の位置にあるとき、対応する辺の交点は一直線上に並ぶという定理。

射影幾何学の基礎となる定理であり、点と線の双対性を象徴している。

図形をより高次元の視点から捉えることで、直感的に理解することが可能になる。

三角形の各辺に平行な線を引き続けてできる六角形が、必ず閉じるという幾何学の性質。

任意の三角形において、ある点から出発して特定の規則で線を引くと元の点に戻る。

初等幾何学における、単純ながらも意外性のある美しい結果の一つ。

三角形の内心と傍心が、特定の円（外接円の弧の中点を中心とする円）の上にある性質。

「内心・傍心定理」とも呼ばれ、三角形の五心の配置に関する重要な定理。

図形がユリ（トリリウム）の花のように見えることからこの名がある。

円に内接する四角形において、対角線の積が対辺の積の和に等しいという幾何学の定理。

古代ギリシャの天文学者プトレマイオスによって示され、三角関数の加法定理の基礎となった。

平面幾何学における非常に有名かつ強力な公式の一つである。

三角形の垂心を通る直交する2直線が、外接円と交わる点に関する幾何学の定理。

これら2直線が各辺と交わる点の中点は、常に一直線上に並ぶことを示している。

19世紀末に発見された、三角形の性質に関する比較的新しい定理の一つ。

直角四面体において、3つの直角三角形の面積の二乗の和が、斜面の面積の二乗に等しい性質。

ピタゴラスの定理を3次元に拡張した形になっており、非常に美しい対応を示す。

18世紀の数学者ジャン・ポール・ド・グアによって発表された。

任意のリーマン多様体が、高次元のユークリッド空間に等長的に埋め込めることを示す定理。

ジョン・ナッシュによって証明され、多様体の幾何学的実在性を保証する成果となった。

数学的に極めて困難な非線形偏微分方程式の解法を用いて導かれた。

任意の三角形の各辺を1辺とする正三角形を外側に描くと、その中心同士も正三角形をなす性質。

ナポレオン・ボナパルトが発見したという伝説があるが、真偽は定かではない。

幾何学における美しい対称性を示す例として、広く親しまれている。

円に外接する四角形において、対辺の中点を結ぶ線分と対角線の中点が一直線上にある性質。

「ニュートン線」と呼ばれるこの直線は、図形の幾何学的な均衡を示している。

アイザック・ニュートンが幾何学においても優れた業績を残したことを示す例。

ミルナーK理論とガロアコホモロジーの間の同型関係を述べた、現代数学の難定理。

かつては「ブロック・加藤予想」と呼ばれ、20年以上の歳月をかけて証明された。

数論的代数幾何学における金字塔であり、多くの重要な予想の解決に繋がった。

円板を特定のルールで分割した際、交互に並ぶ領域の面積の和が等しくなる幾何学の定理。

中心以外の点を通る等角度の切り込みを入れた場合、偶数個のピースの合計面積が一致する。

ピザを不公平な位置から切り分けても、枚数を守れば公平に分け合えることを示唆する。

直角三角形の3辺の長さの関係を表す、幾何学で最も有名な定理の一つ。

斜辺の長さの2乗は、他の2辺の長さの2乗の和に等しいという関係式が成り立つ。

測量、建築、物理学など、あらゆる科学技術分野の計算において基礎として用いられる。

格子点上にある多角形の面積を、境界上と内部にある点の数から求める公式。

面積は「内部の点数 + (境界上の点数 / 2) - 1」という極めてシンプルな式で計算できる。

頂点がすべて格子点上にあるという条件下で、複雑な形状の面積も容易に算出可能。

円に外接する四角形において、対辺の長さの和が等しくなるという幾何学の定理。

四角形の向かい合う2組の辺の長さを足すと、どちらの組も同じ値になる性質を持つ。

円に外接する条件を満たすすべての凸四角形において、この関係が常に成立する。

代数体上の有理点を持つ代数曲線のうち、種数が2以上のものは有限個しか点を持たない。

1983年にゲルハルト・ファルティングスによって証明され、フィールズ賞の対象となった。

モーデル予想として知られていた難問を解決し、数論幾何学に多大な貢献をした。

正三角形の外接円上の点から各頂点までの距離に関する幾何学の定理。

遠い方の頂点までの距離は、近い方の2つの頂点までの距離の和に等しくなる。

オランダの数学者フランス・ファン・スコーテンによって17世紀に示された。

任意の平面グラフは、すべての辺を直線として平面上に描画できるという定理。

曲線を使わずに交差なしでグラフを描けることを示し、グラフ描画理論の基礎となった。

1948年にイシュトヴァン・ファーリらによって独立に証明された。

2つの正方形が1つの頂点を共有するとき、それらから作られる特定の三角形の性質。

共有点以外の頂点を結んでできる2つの正方形の中心と、三角形の頂点が関係を持つ。

幾何学における正方形の配置に関する、エレガントな不変性を示す定理である。

三角形の九点円が、その三角形の内接円および3つの傍接円に接するという幾何学の定理。

九点円は内接円とは内接し、傍接円とは外接するという美しい配置関係を持つ。

1822年にドイツの数学者カール・フォイエルバッハによって発表された。

三角形の外接円上の点に関連する、特定の円や直線が一点で交わるという幾何学の定理。

シュタイナー線や中点三角形の性質を拡張した、複数の定理がこの名で呼ばれる。

19世紀から20世紀にかけてのフランスの幾何学者フォントネーによって示された。

代数的位相幾何学において、ホモトピー群とホモロジー群の間の関係を述べる定理。

空間が連結で低次のホモトピー群が消えているとき、最初の非自明な群が一致することを示す。

空間の「穴」の性質を異なる手法で計算し、比較するための強力な道具となる。

微分幾何学において、接分布が積分可能（葉層構造を持つ）ための必要十分条件を示す。

また代数学では、実数体上の有限次元結合的分配代数が3種類に限られることも指す。

数学の複数の分野に同名の定理が存在し、それぞれが各分野の根幹をなす重要な成果。

円に内接する四角形において、対角線が直交する場合の辺と垂線の関係を示す定理。

対角線の交点から一辺に下ろした垂線は、反対側の辺を必ず二等分するという性質。

7世紀のインドの数学者ブラーマグプタによって発見された幾何学の古典的成果。

円錐曲線に外接する六角形において、3本の対角線が必ず一点で交わるという定理。

パスカルの定理（内接六角形に関する定理）の双対として知られる幾何学の定理。

射影幾何学における美しい対称性を示す代表的な例の一つである。