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集合族上の有限加法的な測度を、より大きな完全加法的な測度へと一意に拡張できる条件を示した定理。

測度論の基礎となる重要な定理であり、カラテオドリの拡張定理と密接に関連している。

ボレル集合族上のルベーグ測度の構成など、確率論や解析学の厳密な議論において広く用いられる。

極限値を求める際、未知の関数を既知の2つの関数で挟んで値を特定する定理。

左右の関数の極限が一致すれば、挟まれた関数の極限も同じ値になる。

微積分学において、複雑な関数の収束を証明するために不可欠な道具である。

関数族が等程度連続かつ一様有界であるとき、収束する部分列を持つという定理。

関数空間におけるコンパクト性を判定するための重要な指標となる。

微分方程式の解の存在証明や解析学の様々な分野で広く利用される。

微分作用素の解析的指数と、多様体の幾何学的指数が一致するという定理。

解析学、幾何学、理論物理学を結びつける現代数学の金字塔の一つである。

1963年にマイケル・アティヤとアイザドール・シンガーによって証明された。

べき級数が収束半径の端点で収束する場合、その値が連続的に繋がることを示す定理。

級数の和の極限と、関数の極限を入れ替えるための数学的な正当性を与える。

解析学において、無限級数の性質を調べるための基本的かつ強力な道具である。

べき級数の収束域の境界における挙動を規定する、解析学の重要な定理。

収束半径の端点で級数が収束するなら、その点での関数の値は級数の和に等しい。

積分計算や特殊関数の値の決定において、境界値を評価する際に頻繁に用いられる。

フーリエ変換の性質に基づき、関数の濃度や収束性を論じる調和解析の定理。

特にタウバー型定理として知られ、素数定理の証明などにも応用される重要な成果。

信号処理や時系列解析において、関数の構造を理解するための数学的基盤を与える。

ラプラス変換の解析接続を利用して、関数の漸近的な挙動を決定する数論の定理。

ウィーナーのタウバー型定理を一般化したもので、素数定理の簡潔な証明を可能にした。

ディリクレ級数の収束性と、対応する数論的関数の平均値の関係を記述する。

測度論において、集合族上の有限加法的測度を完全加法的測度へ一意に拡張できることを示す定理。

ボレル集合族などの複雑な集合に対して、矛盾なく面積や体積を定義するための根拠となる。

ルベーグ積分を数学的に厳密に構築する上で、最も核心となる定理の一つである。

完備距離空間上の関数が不動点を持つための条件を、連続性を仮定せずに与える定理。

バナッハの不動点定理を一般化したものであり、非線形解析学において重要な地位を占める。

最適化理論や変分不等式など、数学の広範な分野に応用されている。

2つの立体を平行な平面で切ったとき、その切り口の面積が常に等しければ体積も等しいという原理。

積分法の概念が確立される前に、面積や体積を求めるための強力な手法として提唱された。

球の体積公式の導出など、幾何学的な計算において直感的で分かりやすい根拠を与える。

フォン・ノイマン代数の理論において、代数の単位球が強演算子位相で稠密であることを示す定理。

無限次元の演算子を扱う上で、近似的な操作が正当化されるための重要な技術的基盤となる。

量子力学の数学的定式化や、作用素環論の研究において不可欠な道具である。

実数直線の閉区間において、任意のゲージに対して従属な細分が存在する定理。

リーマン積分を一般化したゲージ積分の定義において中心的な役割を果たす。

ハイネ・ボレルの被覆定理をより一般的な形で表現したものと言える。

バナッハ空間上の正の線形作用素が、正の固有値と正の固有ベクトルを持つという定理。

線形代数におけるペロン＝フロベニウスの定理を無限次元空間へ拡張したもの。

積分方程式や偏微分方程式の解の存在証明などに広く応用される。

局所凸空間内のコンパクト凸集合は、その端点の凸包の閉包に一致するという定理。

凸集合の構造は、その「角」にあたる端点によって完全に決定されることを示す。

関数解析学において、最適化問題や表現論の基礎として重要な役割を果たす。

平面上の閉曲線に沿った線積分を、その内部の二重積分に関連付けるベクトル解析の定理。

ガウスの散度定理の二次元版であり、物理学や工学の計算で多用される。

ジョージ・グリーンによって導かれ、電磁気学や流体力学の基礎を支えている。

ベクトル場の回転の曲面積分を、その境界に沿った線積分に関連付ける定理。

三次元空間における微積分学の基本定理の拡張であり、電磁気学等で多用される。

一般に「ストークスの定理」として知られ、マクスウェル方程式の記述にも用いられる。

任意のC*環が、あるヒルベルト空間上の有界線形作用素の環と同型であるという定理。

抽象的な代数構造を、具体的な作用素の集まりとして実現できることを示す。

量子力学の数学的基礎や、非可換幾何学の発展において極めて重要な役割を果たす。

複素数体上のバナッハ代数が体であるならば、それは複素数体と同型であるという定理。

関数解析学において、バナッハ代数のスペクトル理論の基礎を支える重要な結果。

イスラエル・ゲルファントとスタニスワフ・マズールによって独立に示された。

ベクトル場の回転の積分を、その境界における線積分に関連付ける微積分学の定理。

3次元空間における線積分と面積分の関係を一般化したものである。

電磁気学のマクスウェル方程式を記述する際など、物理学で極めて重要となる。

連続関数を多項式などの特定の関数族で一様に近似できることを示す定理。

ワイエルシュトラスの近似定理を一般化したもので、関数空間の稠密性を論じる。

解析学において、複雑な関数を扱いやすい関数で代用する際の根拠となる。

級数の和の収束性に関して、アーベルの定理の逆が特定の条件下で成り立つことを示す定理。

発散級数の和を定義する手法において、通常の収束性を保証するために用いられる。

解析学における漸近解析や数論の証明において重要な役割を果たす。

任意の個数のコンパクト空間の直積空間は、再びコンパクトであるという位相幾何学の定理。

無限個の積を扱う際にも成立し、選択公理と等価であることが知られている。

解析学や関数空間の性質を調べる上で、最も基本的かつ重要な定理の一つである。

関数を特定の点における微分係数を用いた多項式で近似できることを示す定理。

複雑な関数を扱いやすい多項式（テイラー展開）に変換し、誤差を評価できる。

物理学の近似計算や数値解析など、科学技術のあらゆる分野で基礎として使われる。

コンパクト空間上の連続関数列が単調に収束する場合、一様収束することを述べる定理。

各点収束から一様収束を導くための、解析学における重要な十分条件の一つ。

関数の連続性と空間のコンパクト性が、収束の質を保証する例として知られる。

フーリエ級数が元の関数に収束するための十分条件を定めた解析学の定理。

関数が周期を持ち、区分的に滑らかであれば級数は各点で収束することを保証する。

信号処理や物理現象の波動解析において、級数展開の妥当性を支える。

単葉関数の係数に関する「ビーベルバッハ予想」を解決した、複素解析の定理。

1984年にルイ・ド・ブランジュによって証明され、長年の難問に終止符を打った。

特殊関数の理論を駆使した膨大な証明は、当時の数学界に大きな衝撃を与えた。

コンパクト集合上で定義された連続関数は、その集合上で一様連続であるという定理。

単なる連続性よりも強い性質を保証し、積分可能性の証明などに不可欠である。

解析学の基礎を支える、実数論と位相空間論の重要な接点の一つ。

ユークリッド空間の集合がコンパクトであることと、有界閉集合であることは同値である。

任意の開被覆から有限の部分被覆を取り出せるという性質を、実数の性質で特徴づける。

位相空間論におけるコンパクト性の概念を理解する上で、最も基本的な定理。

常微分方程式の初期値問題において、解の存在と一意性を保証する定理。

関数がリプシッツ連続であるという条件下で、局所的な解がただ一つ存在することを示す。

微分方程式の理論における最も基本的な基盤の一つとして広く知られている。

フーリエ級数が収束しない場合でも、算術平均をとれば元の関数に一様収束するという定理。

チェザロ和を用いることで、不連続点を持つ関数の解析を可能にした。

調和解析において、フーリエ級数の理論を補完する極めて重要な役割を果たす。

下半連続な凸関数は、その二重共役関数と一致するという凸解析の定理。

関数を接平面の集合として表現できることを保証し、双対性の議論を正当化する。

凸集合と閉凸関数の性質を結びつける、最適化理論における中心的な成果の一つ。

多重積分において、積分の順序を入れ替えても計算結果が等しくなることを保証する定理。

関数が可積分であるという条件下で、逐次積分によって多次元の積分を計算できる。

解析学において多変数の計算を行う際の、最も基本的かつ強力な道具の一つ。

関数空間 L^p において、集合がコンパクトであるための必要十分条件を与える定理。

関数の平行移動に対する連続性が一様であることを条件とし、近似の可能性を保証する。

偏微分方程式の解の存在証明や、関数解析学の理論構築において重要な役割を果たす。

積分方程式において、解が存在するか、あるいは同次方程式が非自明な解を持つかの二択を示す。

線形代数における「解があるか、核が存在するか」という関係を無限次元へ拡張したもの。

境界値問題などの物理現象を記述する方程式の可解性を判断する基準となる。

フレドホルム積分方程式の解の性質や構造を記述する、一連の定理の総称。

積分演算子がコンパクト作用素である場合に、有限次元の線形方程式と似た性質を持つ。

量子力学や散乱理論など、物理学の数学的定式化において広く応用されている。

リース空間（線形束）において、特定の要素が射影の積分として表現できるという定理。

線形代数における行列の固有値分解を、より抽象的な空間へと一般化したもの。

関数解析学において、作用素の構造を解析するための基礎的な枠組みを提供する。