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複素数係数のn次方程式は、複素数の範囲で必ずn個の解を持つという定理。

ガウスによって厳密に証明され、代数学における最も重要な成果の一つとされる。

多項式の因数分解や複素解析学の基礎を支え、数学の体系において中心的な役割を担う。

多項式をゼロと置くことで得られる方程式であり、未知数の値を求める対象となる。

係数が整数の場合、その解は代数的数と呼ばれ、数論の重要な研究対象となる。

一次から四次までは解の公式があるが、五次以上には一般的な公式は存在しない。

代数幾何学において、代数的サイクルの性質とコホモロジーを結びつける一連の予想。

グロタンディークによって提唱され、ヴェイユ予想の背後にある構造を説明する。

現代数学における最難関の未解決問題の一つであり、モチフ理論の根幹を成す。

多項式環や代数幾何学の手法を、統計モデルの解析に応用する数学の分野。

統計モデルを代数多様体として捉え、その幾何学的な性質から統計量を導き出す。

バイオインフォマティクスや複雑なデータの構造解析において、新たな視点を与える。

線型写像の核の次元と像の次元の和が、定義域の次元に等しいという定理。

次元定理とも呼ばれ、行列のランクと解の自由度の関係を明確にする。

線型代数学における最も基本的かつ重要な定理の一つとして知られる。

アーベル圏や加群の圏における、可換図式に関する重要な補題。

5つの加群と写像からなる図式において、同型性を証明するのに用いる。

ホモロジー代数学において、より複雑な証明を組み立てる基礎となる。

アーベル圏において、3×3の可換図式に関する性質を述べた補題。

行と列が完全列であるとき、残りの列の完全性を導き出す。

ホモロジー代数において、図式追跡を行う際の強力な道具となる。

複素数体上の多項式写像が単射であれば、それは全射でもあるという代数幾何学の定理。

有限集合の写像に関する性質が、特定の代数多様体でも成立することを示した。

モデル理論の手法を用いて証明された、数学の異なる分野を繋ぐ例として有名である。

半単純環の構造を、体上の行列環の直積として完全に分類する代数学の定理。

環論において、複雑な代数的構造をより単純な要素に分解して理解を助ける。

表現論や数論などの広範な数学領域において、基礎的な道具として用いられる。

可換環論におけるネーター環のイデアルに関する重要な数学的結果。

エミール・アルティンとデイヴィッド・リースによって証明された。

完備化の理論やクルルの交差定理の証明において基礎的な役割を果たす。

五次以上の一般的な代数方程式には、加減乗除と冪根による解の公式が存在しないという定理。

古代からの数学の難問に終止符を打ち、ガロア理論へと繋がる代数学の転換点となった。

特定の方程式は解けるが、全ての五次方程式に共通する解法は作れないことを証明した。

単純環の構造を、体上の行列環として決定する代数学の重要な定理。

アルティン・ウェダーバーンの定理の基礎となり、非可換環論の発展に大きく寄与した。

抽象的な代数系を、具体的な行列という形で表現することを可能にする。

全ての有限な除法代数（斜体）は、必ず可換体であるという代数学の定理。

有限個の要素しか持たない世界では、乗法の交換法則が自動的に成立することを証明した。

射影幾何学において、パップスの定理とデザルグの定理の関係を説明する際にも現れる。

リー環の理論において、べき零リー環の性質を規定する重要な定理。

すべての元が随伴表現においてべき零であれば、そのリー環自体がべき零となる。

リー代数の構造解析や分類において基礎的な役割を果たす。

有理数体上の絶対値が、通常の絶対値かp進絶対値のいずれかと同値であるという定理。

数論において、有理数の「近さ」を測る尺度が限定的であることを示している。

代数的数論における局所体の理論を構築する上での出発点となる重要な定理。

数学者エリー・カルタンによって導かれた、リー群や微分形式に関する一連の定理の総称。

特にリー環の可解性や半単純性を判定する基準（カルタンの判定条件）が有名である。

現代の微分幾何学や理論物理学の基礎を築いた、極めて重要な数学的成果である。

幾何学的代数において、直交変換がいくつかの鏡映（反射）の合成で表せることを示す定理。

n次元空間の直交変換は、高々n個の鏡映によって構成できることを保証している。

群論や結晶学、コンピュータグラフィックスにおける回転の理解において基礎となる。

箙（えびら）の表現論において、有限個の既約表現を持つための条件をグラフの形で示した定理。

対応するグラフがADE型のディンキン図形である場合に限り、表現が有限型となることを証明した。

代数学の異なる分野を繋ぐ美しい結果として、現代数学において高く評価されている。

代数方程式の解の対称性と、体の拡大の構造を群論を用いて結びつける定理。

方程式が代数的に解けるかどうかを、対応するガロア群の性質によって判定できる。

5次以上の方程式に一般的な解の公式が存在しないことを証明する際の核心となった。

線形方程式系の解を、行列式を用いて明示的に書き下す公式。

ガブリエル・クラメルにより発表され、理論的に非常に簡潔で美しい解法である。

変数の数が増えると計算量が膨大になるため、実用的な数値計算には不向きである。

可換環論において、単項イデアルから生成される素イデアルの高さは1以下であるという定理。

ネーター環における次元論の基礎となる重要な結果である。

ヴォルフガング・クルルによって証明され、多項式環の次元の理解に貢献した。

零環でない任意の可換環には、少なくとも一つの極大イデアルが存在するという定理。

証明には選択公理（ツォルンの補題）が必要であり、環論の基本定理の一つ。

これにより、任意の環を体へと写す準同型写像の存在が保証される。

ある種の加群や群が、直既約な成分の直和として一意に分解できるという定理。

分解の順序を除いて、各成分の同型類とその個数が一意に定まることを保証する。

代数学における構造の分解可能性を論じる上での基礎的な道具である。

任意の群は、ある集合上の置換群と同型であるという群論の定理。

抽象的な群の構造が、具体的な置換の集まりとして表現できることを保証する。

アーサー・ケイリーによって示され、群論の初期の発展において重要な役割を果たした。

正方行列は、それ自身の特性多項式を零行列にするという線形代数の定理。

行列の累乗を低次の和で表すことを可能にし、行列の計算を大幅に簡略化する。

線形代数学において最も有名かつ実用的な定理の一つである。

非可換環論におけるベキ零イデアルに関する未解決予想。

任意の左ベキ零イデアルが両側ベキ零イデアルに含まれるかを問う。

環の構造理論における基本的かつ困難な問題の一つである。

行列の固有値が、複素平面上の特定の円盤（ゲルシュゴリン円）の和集合内に存在するという定理。

行列の成分から直接、固有値のおおよその範囲を推定できる非常に実用的な手法。

数値解析において、固有値計算の収束性や安定性の評価に用いられる。

f(x+y) = f(x) + f(y) という形式の最も基本的な関数方程式。

連続性などの条件を課すと、解は f(x) = cx という線形関数に限られる。

線形性の定義そのものであり、数学のあらゆる分野に現れる。

群論において、群の位数が素数pで割り切れるとき、位数pの要素が存在することを示す定理。

ラグランジュの定理の逆の一部を保証するもので、有限群の構造解析の出発点となる。

シローの定理へと一般化される、代数学における基本的かつ重要な結果である。

2つの行列の積の行列式を部分行列の行列式の和で表す公式。

線形代数学において、行列式の性質を深く理解するための重要な道具である。

ピタゴラスの定理の高次元版としての解釈も可能である。

ベクトルの内積とノルムの間に成り立つ基本的な不等式。

内積の絶対値は各ベクトルの長さの積以下であることを示す。

解析学や線形代数、確率論など数学の全域で頻繁に使用される。

空間を2つの部分に分けたとき、全体の基本群を部分の基本群から計算する代数トポロジーの定理。

複雑な図形の構造を、より単純な要素の組み合わせとして解析することを可能にする。

ホモトピー論において、空間の穴の性質を調べるための最も基本的な道具の一つである。

特定の循環的な和の形を持つ分数式の最小値を問う不等式。

変数の数によって不等式が成立するかどうかが変わるという特徴を持つ。

数学オリンピックなどの問題としても親しまれる興味深い性質を持つ。

代数幾何学において、構成可能集合の像が再び構成可能集合になることを述べる定理である。

多項式方程式の解の集合を射影したとき、それが再び多項式の条件で記述できることを保証する。

代数閉体上の幾何学において、写像の性質を理解するための基礎的な役割を果たす。

群の表現論における既約表現間の準同型写像に関する基本定理。

既約表現間の写像は零写像か同型写像のいずれかに限られることを示す。

表現の分類や指標の直交関係を導くための極めて重要な基礎となる。

非負の実数に対して成り立つ、対称な多項式の形をした不等式。

3変数以上の特定の形式において、常に非負であることを主張する。

数学検定やコンテストの証明問題などでしばしば応用される。

行列 AX + XB = C の形で表される線形行列方程式。

制御理論における安定性解析や、行列の対角化可能性の議論に現れる。

解の存在条件は A と -B の固有値が重ならないことである。

実二次形式を行列で表したとき、正・負・零の固有値の個数は基底の取り方によらず一定であるという定理である。

二次形式の符号数（シグネチャ）が不変量であることを示しており、線形代数学の基礎をなす。

二次曲面の分類や、物理学における計量テンソルの性質を議論する際に用いられる。

ホモロジー代数において、短完全系列から長完全系列を導くための道具。

鎖複体の射から誘導されるホモロジー群の間の関係を記述する。

代数的位相幾何学などでホモロジーを計算する際の基本となる。

ネーター環のジャコブソン根基の共通部分が零になるという予想。

環論における構造定理の一般化に関連する重要な未解決問題である。

可換環の場合は証明されているが、非可換環では依然として難問である。

L関数の特殊値と単数群の調整量を結びつける数論の予想。

代数的数論における類数公式の広範な一般化を目指すものである。

現代数論における中心的な未解決問題の一つとして活発に研究されている。

実係数多項式が指定された区間内に持つ実根の個数を求めるための定理。

多項式とその導関数から生成される「スツルム列」の符号変化を利用する。

代数方程式の解の存在範囲を特定する計算機代数の基礎手法である。

線形作用素を固有値に対応する射影作用素の和や積分として分解できるという定理。

行列の対角化を無限次元のヒルベルト空間上の作用素へ一般化したものである。

量子力学における観測可能量の記述や、関数解析学の根幹をなす理論である。

有限生成の射影加群が、あるコンパクト空間上のベクトル束の切断の空間と対応する定理。

代数的な概念と幾何学的な構造を結びつける、K理論の基礎となる成果である。

非可換幾何学などの現代数学において重要な役割を果たしている。

ガロア表現がモジュラー形式から得られるという数論の予想。

フェルマーの最終定理の証明において決定的な役割を果たした。

現在はクロンの証明により、モジュラー性定理の一部として解決されている。

代数体の拡大において、特定のフロベニウス写像を持つ素イデアルの割合を示す定理。

算術級数における素数定理を一般化したもので、数論における極めて強力な道具である。

素数の分布やガロア群の構造を解明するために広く用いられる。

任意の鎖が上界を持つ半順序集合は極大元を持つという集合論の命題。

選択公理と同値であり、数学の多くの分野で存在証明に用いられる。

ベクトル空間の基底の存在やハーン・バナッハの定理の証明に不可欠。

代数多様体のサイクルとコホモロジーの関係を述べる代数幾何学の予想。

ジョン・テイトによって提唱され、数論的代数幾何学の重要課題である。

ホッジ予想の数論的類似とみなされ、現在も完全な解決には至っていない。

有限的性質を持つ集合族には極大元が存在するという集合論の命題。

ツォルンの補題や選択公理と同値であり、代数学などの証明で利用される。

特にイデアルの存在証明など、代数的構造の解析において有用である。

係数が整数であり、整数の解を求める多項式方程式のことである。

フェルマーの最終定理などは、この方程式の代表的な未解決問題であった。

数論の歴史において最も古くから研究されている対象の一つである。

代数体の整数環における単数群の構造を、有限生成アーベル群として記述する定理。

単数群の階数が、代数体の実埋め込みと複素埋め込みの数によって決まることを示す。

代数的数論において、体の性質を理解するための極めて重要な道具である。

多項式の実根の個数を、係数の符号の変化回数から推定する代数学の手法。

正の実根の最大数は符号変化の回数に等しく、負の実根は変数を置換して判定する。

方程式の解の存在範囲を素早く把握するために、古くから用いられてきた。

体論において、異なる体自己同型写像が線形独立であることを示す定理。

ガロア理論の基本定理を証明する際の核心となる重要なステップである。

抽象代数学における体の拡大の構造を理解するための基礎的な道具。

実係数多項式の根がすべて実数であるとき、その基本対称式間に成り立つ式。

係数の2乗が、その前後の係数の積よりも大きいことを示している。

代数学における多項式の性質や、凸解析の分野で重要な役割を果たす。

代数幾何学において、代数曲面の幾何学的不変量の間に成り立つ不等式。

曲面の第一チャーン数と算術幾何学的な性質を関連付けるものである。

極小曲面の分類理論において、曲面の存在範囲を制限する重要な指標となる。

ミルナーK理論とガロアコホモロジーの間の同型関係を述べた、現代数学の難定理。

かつては「ブロック・加藤予想」と呼ばれ、20年以上の歳月をかけて証明された。

数論的代数幾何学における金字塔であり、多くの重要な予想の解決に繋がった。

2次形式が有理数体上で解を持つための必要十分条件を与える定理。

全てのp進数体と実数体上で解を持てば、有理数体でも解を持つ。

局所大域原理（ハッセの原理）の代表的な成功例である。

半単純リー環の普遍包絡環の中心の構造を記述する代数学の定理。

中心がワイル群不変な多項式環と同型であることを示す。

リー群の表現論において無限小指標を分類する基礎となる。

実代数曲線が持つ連結成分の個数の上限を与える幾何学の定理。

次数nの非特異曲線が持つ成分数は最大で(n-1)(n-2)/2 + 1個である。

ヒルベルトの第16問題の端緒となった重要な成果である。

代数的K理論における予想で、有限生成環上のK群の性質に関するもの。

ハイマン・バスによって提唱され、環の正則性とK群の消滅を関連付ける。

代数学や幾何学の境界領域における重要な未解決問題の一つである。

数論において、十分な変数を持つ奇数次の形式が有理数解を持つことを示す定理。

ハーディ＝リトルウッドの円法を用いて証明される。

代数幾何学における有理点の存在に関する重要な知見を与える。

群論において、位数が2つの素数の冪の積である群が可解群であることを示す定理。

有限群の構造論における金字塔的な成果の一つとされる。

表現論を用いて証明され、有限単純群の分類への道を開いた。

複素多様体上のベクトル束のオイラー標数を、トポロジカルな不変量で表す定理。

古典的なリーマン・ロッホの定理を高次元へ一般化したもの。

代数幾何学や微分幾何学、理論物理学において中心的な役割を果たす。

区分的多項式関数が多項式の最大値と最小値の組み合わせで書けるという説。

実代数幾何学における予想で、環の構造と幾何学的性質を関連付ける。

長年未解決であったが、特定の次元において研究が進展している。

代数体上の有理点を持つ代数曲線のうち、種数が2以上のものは有限個しか点を持たない。

1983年にゲルハルト・ファルティングスによって証明され、フィールズ賞の対象となった。

モーデル予想として知られていた難問を解決し、数論幾何学に多大な貢献をした。

抽象代数学において、有限長さを持つ加群の自己準同型写像に関する性質。

適当な回数反復すると、像と核の直和に分解できることを保証する。

群論や環論における直既約分解の唯一性を示すクルル・シュミットの定理に貢献する。

位数が奇数の有限群は、必ず可解群であるという群論の重要な定理。

250ページを超える膨大な証明を要し、有限単純群の分類への道を開いた。

「奇数位数の群に単純群は存在しない（巡回群を除く）」という予想を解決した。

17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが提唱した、数論に関する諸定理の総称。

主に「小定理」や「最終定理」を指すが、他にも4平方和の定理など多岐にわたる。

数学史上最も有名かつ難解な予想を含み、数世紀にわたり数学者を魅了し続けた。

代数的位相幾何学において、ホモトピー群とホモロジー群の間の関係を述べる定理。

空間が連結で低次のホモトピー群が消えているとき、最初の非自明な群が一致することを示す。

空間の「穴」の性質を異なる手法で計算し、比較するための強力な道具となる。

微分幾何学において、接分布が積分可能（葉層構造を持つ）ための必要十分条件を示す。

また代数学では、実数体上の有限次元結合的分配代数が3種類に限られることも指す。

数学の複数の分野に同名の定理が存在し、それぞれが各分野の根幹をなす重要な成果。

実係数多項式の特定の区間内にある実根の個数の上限を、符号変化の数から求める定理。

多項式とその導関数の値の列を調べ、根の存在範囲を絞り込むことができる。

デカルトの符号法則を一般化したものであり、数値解析や代数方程式の研究に用いられる。

有限単純群の位数が、ある対合（位数2の要素）の中心化群の位数によって制限される定理。

有限単純群の分類プロジェクトにおいて、初期の重要な突破口となった成果。

1955年にリチャード・ブラウアーとポール・ファウラーによって証明された。

多項式の根を、法pの解から法pのべき乗の解へと持ち上げることができる代数の定理。

ニュートン法をp進数体の上で適用したものと解釈することができる。

p進解析や数論幾何学において、方程式の解の存在を証明する強力な手段となる。

2つの代数曲線が交わる点の個数に関する代数幾何学の定理。

次数mとnの曲線は、重複度を含めてちょうどm×n個の交点を持つことを示す。

射影平面上での議論を前提とし、代数方程式の解を幾何学的に解釈する。

代数曲線が代数的数体上で定義されるための必要十分条件を与える定理。

曲線から射影直線への、分岐点が3点のみの写影が存在することと同値である。

子供の落書き（Dessin d'enfant）を通じて、ガロア理論と幾何学を結びつける。

正の要素のみを持つ正方行列の固有値と固有ベクトルに関する数学の定理。

最大固有値が正の実数であり、対応する固有ベクトルも正の要素のみを持つことを示す。

Googleの検索アルゴリズムや経済学の産業連関分析の基礎理論となっている。

複素代数多様体のトポロジーと代数幾何学を関連付ける、ミレニアム懸賞問題。

特定のホモロジー類が、代数的なサイクルの線形結合で表せるかを問う。

現代数学の最難問の一つであり、代数幾何学の深い構造に関わっている。

環論において、左アルティン環は必ず左ネーター環であるという定理。

逆は必ずしも成り立たないが、この定理によりアルティン環の構造が強く制約される。

代数学における環の分類理論において、基本的な位置を占める成果である。

シンプレクティック幾何学と代数幾何学の間に存在する深い対応関係を述べる予想。

マキシム・コンツェビッチが提唱し、弦理論のミラー対称性を数学的に定式化した。

異なる数学的対象が本質的に同じ情報を共有していることを示唆する壮大な理論。

複素代数曲面のチャーン数の間に成り立つ、幾何学的な制約を示す不等式。

曲面のトポロジーと複素構造の間の深い関係を記述している。

代数曲面の分類理論において、非常に重要な役割を果たす定理である。

可解な代数群が完備な代数多様体に作用するとき、必ず不動点を持つという定理。

代数群の構造論や表現論において、基礎となる重要な結果。

アルマン・ボレルによって証明され、リー群の理論にも応用される。

複素簡約リー群の既約表現を、旗多様体上の線束の切断の空間として実現する定理。

表現論と代数幾何学を結びつける、幾何学的量子化の先駆的な成果。

コンパクトリー群のすべての既約表現を幾何学的に構成できる。

正の実数集合に対し、基本対称式の平均値の間に成り立つ大小関係を示す不等式。

相加相乗平均の不等式を一般化したものであり、次数の異なる平均を比較する。

多項式の根の性質や、凸関数の評価など数学の様々な場面で利用される。

有限群の表現論において、複素数体上の表現が既約表現の直和に分解できることを示す定理。

群の作用を持つ空間の構造を、最も単純な要素に分解して理解することを可能にする。

代数学における半単純性の概念の基礎となる重要な成果。

リーマン面のモジュライ空間のコンパクト化に関する代数幾何学の定理。

安定曲線の概念を導入することで、モジュライ空間の境界を定義した。

弦理論や代数曲線の分類理論において極めて重要な基礎定理である。

代数的K理論と二次形式の理論を結びつける数学上の予想。

ジョン・ミルナーが1970年に提唱し、長らく未解決であった。

ウラジーミル・ヴォエヴォドスキーによって証明され、フィールズ賞の対象となった。

多項式環におけるabc予想の類似を証明した代数学の定理。

互いに素な多項式の和に関する次数と、その根の個数の関係を規定する。

フェルマーの最終定理の多項式版を容易に導くことができ、数論への影響も大きい。

有限群の作用に対する不変式の個数を求めるための公式。

母関数を用いて、特定の次数の不変式がいくつあるかを算出する。

不変式論において、多項式環の構造を決定する際に重要な役割を果たす。

行列式の微分を、行列の余因子行列やトレースを用いて表す公式。

行列値関数の行列式がどのように変化するかを計算する際に用いられる。

微分幾何学や連続体力学において、体積変化率を求める際などに活用される。

多項式写像のヤコビ行列式が定数ならば、その写像は逆写像を持つという予想。

代数幾何学における未解決問題の一つで、2変数以上の場合が対象となる。

非常に単純な主張に見えるが、多くの数学者が挑んでも未だ証明されていない。

モジュラー形式のフーリエ係数の大きさに関する数学上の予想。

正則なカスプ形式の係数が、特定の範囲内に収まることを主張する。

ピエール・ドリーニュがヴェイユ予想の証明の一部としてこれを解決した。

制御理論において、システムの安定性を評価するために用いられる行列方程式。

線形システムのリアプノフ関数の存在を確認する際に解かれる。

連続系と離散系の両方で定義され、行列の固有値の配置と密接に関係する。

2つのコンパクト・リーマン面間の写像において、属数と分岐点の関係を示す式。

被覆写像の次数と、分岐指数を用いてトポロジー的な変化を記述する。

代数幾何学や複素解析において、曲線の性質を調べるための基本ツールである。

リーマン面上の関数の自由度と、その面の幾何学的性質を結ぶ定理。

関数の零点や極の数と、面の属種（穴の数）の関係を記述する。

代数幾何学や数論における最も重要かつ美しい定理の一つ。

領域内の二つの正則関数の零点の個数が、境界での評価により一致する定理。

境界上で一方の関数が他方より大きければ、和の零点数は変わらない。

代数学の基本定理の証明や、方程式の解の個数の推定に用いられる。

線形方程式系に解が存在するための必要十分条件をランクで示す定理。

係数行列と拡大係数行列のランクが一致するとき、解が存在する。

線形代数学において、解の有無と自由度を判定する基本手段。

複素射影多様体とその超平面切断のトポロジーの関係を記述する定理。

切断によって低次のホモロジー群が変化しないことを示す。

代数幾何学における多様体の構造解析において強力な武器となる。

1より大きい代数的整数のマーラー尺度は、ある定数以上であるという予想。

非常に1に近いマーラー尺度を持つ多項式が見つかっているが、最小値は不明である。

数論における多項式の根の分布に関する深い問いを含んでいる。

三次元空間において、任意の軸の周りでベクトルを回転させるための計算式である。

回転軸の単位ベクトルと回転角を用いて、回転後の位置を直接算出できる。

コンピュータグラフィックスやロボット工学における姿勢制御の計算に不可欠である。

多変数複素関数論において、零点付近での関数の構造を多項式で表現する定理である。

複雑な解析関数を、特定の変数に関する多項式と非零関数の積に分解できる。

複素解析や代数幾何学において、局所的な性質を調べるための強力な道具となる。

実係数多項式の正の実根を、連分数展開を用いて分離するための代数学の定理である。

変数の変換を繰り返すことで、符号変化の数から根の存在範囲を特定できる。

多項式の解の近似計算や、計算機代数におけるアルゴリズムの基礎として利用される。

有限体上の代数多様体のゼータ関数に関する、リーマン予想の類似を含む予想である。

代数幾何学と数論を結びつける重要な架け橋であり、数学界に大きな影響を与えた。

ドリーニュによって完全に証明され、現代代数幾何学の金字塔の一つとなっている。

変数の最高次数が1である代数方程式であり、グラフにすると直線になる。

等式の性質を用いて変数を単独の形に導くことで、解を求めることができる。

数学の最も基礎的な概念の一つであり、日常生活の計算や科学の基礎に広く使われる。

変数の最高次数が7である一変数多数方程式である。

五次以上の方程式であるため、一般的な代数的な解の公式は存在しない。

特定の条件下ではテータ関数などを用いて解くことが可能だが、計算は極めて複雑である。

変数の最高次数が3である代数方程式である。

16世紀にタルタリアやカルダノによって、代数的な解の公式が確立された。

実数解を必ず一つ以上持ち、複素数範囲では常に三つの解が存在する。

二つの数や式の大小関係を、不等号を用いて表した数式である。

解は特定の数値ではなく、範囲（領域）として示されることが特徴である。

最適化問題や物理的な制約条件の記述など、数学のあらゆる分野で基礎となる。

複素代数多様体において、微分の集合が自由加群ならばその多様体は滑らかであるという予想。

代数幾何学における特異点と微分の関係を問う、未解決の重要な問題である。

滑らかな多様体であれば微分の集合が自由加群になるという事実の逆を主張している。

複数の整数で割った余りが与えられたとき、元の数を求める数論の定理。

互いに素な法の下での合同式系に、一意な解が存在することを保証する。

RSA暗号の高速化や、大きな数の計算を分割して行う際に利用される。

可換環論において、有限生成加群の性質を環のイデアルと結びつける重要な定理。

局所環上の加群の生成系を調べる際に不可欠な道具として機能する。

代数幾何学や数論の基礎理論において、至る所で応用される基本的な結果である。

PID上の有限生成加群が、自由部分とねじれ部分の直和に分解できること。

線形代数におけるジョルダン標準形の存在を一般化した形で保証する。

有限生成アーベル群の分類など、代数学の広い範囲に適用される。

変数の最高次数が2である代数方程式であり、グラフは放物線を描く。

古代から研究されており、実数または複素数の範囲で必ず二つの解を持つ。

物理学の投射体の運動や、建築物の設計など、実社会の様々な場面で応用される。

二次方程式の係数を用いて、その解を直接求めることができる代数的な公式。

平方完成の手順を一般化することで導かれ、判別式によって解の種類を判定できる。

中等教育の数学における最重要項目の一つであり、計算の自動化にも寄与している。

二項式のべき乗を展開した際の各項の係数を求めるための代数学の公式。

展開式の係数は組み合わせの数である二項係数（コンビネーション）として現れる。

多項式の計算や確率論における二項分布の導出など、数学の多分野で基礎となる。

変数の最高次数が5である代数方程式である。

アーベルとガロアにより、一般的な代数的な解の公式が存在しないことが証明された。

群論の誕生を促した重要な対象であり、数学の歴史における大きな転換点となった。

二つの要素の演算において、演算の順序を入れ替えても結果が変わらない性質。

足し算（a+b=b+a）や掛け算（a×b=b×a）がこの法則を満たす代表例である。

算術や代数学の最も基本的な法則であり、計算の簡略化や式の変形に寄与する。

楕円曲線の有理点の個数に関する誤差項の分布が、特定の統計法則に従うという予想。

数論における深い対称性を示唆しており、多くの数学者を魅了してきた。

2000年代にリチャード・テイラーらによって、広範なケースについて証明された。

変数の最高次数が8である一変数多項式方程式である。

代数的な解の公式は存在しないが、数値計算によって解を求めることは可能である。

理論数学の対象として、特定の対称性を持つ場合の性質などが研究される。

変数の最高次数が6である代数方程式である。

一般的な代数的な解の公式は存在せず、解の性質はガロア理論によって記述される。

特定の形式の方程式は、超幾何関数や楕円関数を用いて解くことができる。

数や式の演算において、括弧の外の項を中の各項に掛け合わせることができる性質。

a(b+c) = ab+ac という形式で表され、代数計算の基本ルールの一つである。

式の展開や因数分解において不可欠であり、算術から高度な数学まで広く使われる。

数学的な対象を、特定の性質や不変量に基づいて完全にリストアップする定理。

有限単純群の分類や、閉曲面の分類などが代表的な成果として知られる。

対象の全体像を把握し、未知の構造が存在しないことを証明する数学の到達点。

多項式P(x)を(x-a)で割った時の余りが、P(a)の値に等しいという代数学の定理。

複雑な割り算を行わずに余りを求めたり、方程式の解を判定したりする際に重宝する。

因数定理の基礎となる重要な性質であり、高校数学の代数分野で広く学習される。

体論において、有限次分離拡大は単拡大であることを示す定理。

拡大体がある一つの要素（原始元）を添加するだけで生成できることを保証する。

代数的数体や有限体の理論において、構造を簡略化する重要な道具となる。

二つの演算対象の順序を入れ替えると符号が反転するという代数学の法則。

量子力学におけるフェルミ粒子の生成消滅演算子などがこの性質を持つ。

リー代数や外積代数の定義において中心的な役割を果たす概念である。

群論や環論などの代数系において、剰余系と像の間の同型関係を示す定理。

第一、第二、第三同型定理があり、代数的構造の分類や解析に不可欠である。

複雑な構造を持つ対象を、より単純な対象との関係で理解することを可能にする。

すべての自然数は、4つの整数の平方の和で表せるという数論の定理。

ラグランジュによって証明されたため、ラグランジュの四平方定理とも呼ばれる。

例えば、7は 2の2乗 + 1の2乗 + 1の2乗 + 1の2乗 と表現できる。

多項式 P(x) において、P(a)=0 ならば P(x) は (x-a) を因数に持つという定理。

高次方程式の解を見つけ、多項式を因数分解する際の強力な道具となる。

代数学の基本定理と密接に関連し、多項式の性質を調べる基礎となる。

すべての正の整数は、高々n個のn角数の和で表せるという数論の定理。

フェルマーが予想し、コーシーがすべての多角数について証明を完成させた。

四平方定理を一般化したものであり、加法的数論の重要な成果である。

多項式の展開式における各項の係数を求めるための公式。

二項定理を一般化したもので、係数は多項係数と呼ばれる組み合わせの数で与えられる。

確率論における多項分布の計算や、代数的な展開の基礎として用いられる。

代数学において、部分群やイデアルの間の対応関係を示す定理。

群論では、正規部分群による剰余群の部分群との一対一対応を指す。

環論やガロア理論においても、構造の理解に不可欠な道具である。

正方行列が対角行列と相似になるための条件を定めた定理。

固有ベクトルが基底をなす場合に、行列を単純な形に変形できる。

線形代数学において、行列の累乗計算や微分方程式の解法に用いる。

コンパクト複素多様体が射影空間に埋め込める条件を示す定理。

正のラインバンドルを持つことが、代数多様体であるための必要十分条件。

小平邦彦によって証明され、複素幾何学と代数幾何学を繋いだ。

複素多様体上の層係数コホモロジーが消滅することを示す定理。

正のラインバンドルに関連する高次コホモロジーが零になる。

代数幾何学において、切断の存在を証明するための強力な道具である。

虚数乗法を持つアーベル多様体の数論的性質を記述する法則。

志村五郎によって提唱され、類体論を多変数に拡張する鍵となった。

モジュラー形式と楕円曲線の深い結びつきを示す重要な理論である。

代数曲線上の整数点の個数が有限であることを示す数論の重要な定理である。

種数が1以上の代数曲線において、整数座標を持つ点の集合は有限集合に限られる。

ディオファントス近似の理論を用いて証明され、モーデル・ヴェイユの定理とも関連する。

未知数を含む等式で、その未知数が特定の値のときにのみ成立するもの。

解を求めるプロセスを「方程式を解く」と呼び、数学の基本概念である。

1次方程式から微分方程式まで、自然界や社会の法則を記述する言語となる。

ホモロジー群とコホモロジー群の間の関係を、代数的に記述するトポロジーの定理である。

係数環を別のものに取り替えたときに、群の構造がどのように変化するかを決定する。

鎖複体の計算において、ねじれ部分群の影響を正確に把握するために不可欠な道具である。

代数曲面上の線束の切断の空間の次元を、曲面の幾何学的量で表す定理である。

代数曲線の定理を2次元に拡張したもので、ヒルツェブルフらによって一般化された。

曲面の分類理論や、代数幾何学における不変量の計算において中心的な役割を果たす。

整数係数多項式が有理数の解を持つ場合、その候補を限定する代数学の定理である。

解の分子は定数項の約数、分母は最高次係数の約数に限られるという性質を利用する。

高次方程式を解く際の手がかりとして、因数分解の可能性を調べるために広く用いられる。

全ての有限アーベル群は、いくつかの巡回群の直積に一意的に分解できるという定理である。

群の構造を素数冪の位数を持つ単純な要素に分解して理解することを可能にする。

代数学における群論の基礎であり、有限群の分類や性質の解明において決定的な役割を果たす。

楕円曲線の有限体上での点の個数が、理論的な期待値からどれだけずれるかを評価する定理である。

点の個数Nと体の方数qに対し、誤差が2√q以下であることを保証する。

数論におけるリーマン予想の有限体版の一部であり、暗号理論の安全性評価にも関わる。

複素幾何学や代数幾何学において、特定のコホモロジー群が零になることを示す定理。

小平の消滅定理が代表的であり、複素多様体の性質を調べる強力な道具となる。

線束の正値性と幾何学的構造を結びつける重要な役割を果たしている。

群や環などの代数的構造において、準同型写像の核と像の関係を示す定理。

写像による像が、元の構造を核で割った商構造と同型になることを主張する。

代数学の基礎となる重要な定理であり、構造の分類や解析に広く用いられる。

数学の演算において、計算する順序を変えても結果が変わらないという性質。

加法や乗法において (a+b)+c = a+(b+c) が成り立つことを指す。

行列の積や関数の合成など、多くの数学的構造において成立する基本法則。

変数が一次の項のみで構成される方程式。一次方程式とも呼ばれる。

グラフに表すと直線や平面になり、解を求める手順が定型化されている。

線形代数学の基礎であり、多変数の連立方程式として扱われることが多い。

群論において、部分群の位数と剰余類の数の関係を示す基本的な法則。

有限群の位数は、その任意の部分群の位数で割り切れるという定理を指す。

群の構造を解析し、その性質を分類する上での出発点となる。

ホモロジー代数学において、長い完全系列を導出するための道具。

可換図式を用いた証明の過程が、蛇が這うような形に見えることに由来する。

数学の高度な抽象概念を扱う上で、非常に基本的かつ重要な補題。

線形写像において、像の次元（階数）と核の次元（退化次数）の和が定義域の次元に等しいという定理。

線形代数学における最も基本的かつ重要な定理の一つである。

行列のランクと解空間の次元の関係を明確に示している。